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The intuition of the product?
Piet Verstappen, Enschede (The Netherlands)

My purpose is to show that intuition of the product is empty and that multiplication always requires algorithmical definitions. In other words, the product conception rests on structure and not on experience, i.e. insight is not enough. Consequently, learning the product intuitively leads to insufficiencies as one can neither correctly imagine the product, nor the proportion, of magnitudes of different kind. Besides it holds back the completion of the multiplication of operations and consequently, the product of variables and transformations, not to mention the entirely formal multiplication of meaningless symbols, which only comply with algebraic equivalences.

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Die Intuition vom Produkt? Ziel des Beitrags ist es aufzuzeigen, dass intuitive Vorstellungen vom Produkt leer sind und dass Multiplikation immer algorithmische Definitionen verlangt. In anderen Worten: der Produktbegriff basiert auf Struktur und nicht auf Erfahrung, d.h. Einsicht ist nicht genug. Das bedeutet, intuitives Erlernen des Produktbegriffs muss zu Unzulänglichkeiten führen, da sich niemand ein Produkt oder ein Verhältnis von Größen verschiedener Art vorstellen kann. Außerdem wird die Erweiterung der Multiplikation auf Verknüpfungen und damit das Produkt von Variablen und Transformationen erschwert; ganz zu schweigen von der rein formalen Multiplikation bedeutungsloser Symbole, die nur algebraische Äquivalenzen erfüllen.

    
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