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Vorlesung 1 (21. Februar)
- Eigenwerte und Eigenvektoren
- charakteristisches Polynom
- algebraische Vielfachheit
- Spur
- Spektrum
- Eigenraum
- geometrische Vielfachheit
- Beispiele
- linear unabhängige Eigenvektoren
Vorlesung 2 (28. Februar)
- Normierte Vektorräume
- Axiome einer Norm
- Dreiecksungleichung
- Beispiele von Normen auf endlich-dimensionalen Räumen
- Äquivalenz von Normen
- Konvergenz
- Beispiele von Normen auf unendlich-dimensionalen Räumen
- Hilbert-Schmidt-Norm
- Spaltenmaximumsnorm, Zeilenmaximumsnorm
- Operatornorm
- Skalarprodukt
- Orthogonalität
- vom Skalarprodukt induzierte Norm
- Parallelogrammregel und Polarisationsidentität
Vorlesung 3 (7. März)
- Orthogonalprojektion
- Cauchy-Schwarz-Ungleichung
- Satz von Pythagoras
- Einheitsvektoren
- Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit
- Orthonormalbasis (ONB)
- Minimaleigenschaft der Orthogonalprojektion
- Darstellung eines Vektors in einer ONB
- Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren
- komplexes Skalarprodukt
- Darstellung von linearen Abbildungen mit Basen
Vorlesung 4 (14. März)
- Darstellungsmatrizen
- Beispiele
- Kern und Bild einer linearen Abbildung
- Dimension von Kern und Bild
- Zusammengesetzte lineare Abbildungen
- Zusammenhang zwischen Abbildung und adjungierter Abbildung
- Fredholm-Alternative
- invertierbare lineare Abbildungen
- Koordinatentransformation und Basiswechsel
- Übergangsmatrix
Vorlesung 5 (21. März)
- Beispiele zu Koordinatentransformation und Basiswechsel
- Anwendung: Potenzen einer Matrix
- Ähnliche Matrizen
- Fehlerkorrigierende Codes
- Hamming-Code
Vorlesung 6 (28. März)
- Eigenbasis
- Beispiele
- einfache und halbeinfache Matrizen
- diagonalisierbare Matrizen
- Darstellung einer linearen Funktion in einer Eigenbasis
- symmetrische Matrizen und ihre Eigenvektoren
Vorlesung 7 (11. April)
- Diagonalisierung symmetrischer Matrizen
- Potenzen von Matrizen
- Exponentialfunktion einer Matrix
- Matrixoperatornorm
- Eigenwerte und Eigenvektoren orthogonaler Matrizen
- quadratische Formen
- Rotationsenergie
- Lineare Elastizität
Vorlesung 8 (18. April)
- Hauptachsentransformation quadratischer Formen
- Hauptachsentransformation von Kegelschnitten
- Quadriken
- lokale Extrema
- Trägheitssatz von Sylvester
- positiv und negativ (semi-)definit, indefinit
- Kriterium von Hurwitz
- Hessesche Matrix
Vorlesung 9 (25. April)
- Methode der kleinsten Quadrate
- Residuenvektor
- Fehlergleichungen
- Normalgleichungen
- QR-Zerlegung
- Givens-Rotationen
- lineare Regression
Vorlesung 10 (2. Mai)
- lineare Differentialgleichungen
- homogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Anfangswertprobleme
- homogene Systeme linearer DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
- Richtungsfelder, geometrische Interpretation
- gekoppelte Pendel
- Schwebungen
Vorlesung 11 (16. Mai)
- homogene lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
- der harmonische Oszillator
- inhomogene lineare DGL-Systeme
- Partikulärlösungen
- Lösungsräume
- lineare inhomogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit variablen Koeffizienten
- Wronski-Determinante
- Satz von Abel
Vorlesung 12 (23. Mai)
- Variation der Konstanten
- Beispiele
- komplexe DGL
- Jordansche Normalform
- Potenzen von Jordan-Blöcken
Vorlesung 13 (30. Mai)
- Potenzen nicht-diagonalisierbarer Matrizen
- adjungierte Matrix
- unitäre Matrizen
- Singulärwertzerlegung
- Normalform quadratischer reeller Matrizen
- Google und der PageRank-Algorithmus
- Der Satz von Perron-Frobenius
- Anwendungen der linearen Algebra in der Bildverarbeitung
- Weichzeichner
- Edge enhancement
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